高田にも「館/○館」という地名が各所に存在します。これは
https://kotobank.jp/word/%E9%A4%A8-93668 館【たて】
（１）東北地方で，周囲に堀や土塁を巡らした防御施設を持つ遺跡を呼ぶ。〈楯〉とも記す。〈城〉とほぼ同義語。
という由来があって、近くにそういった遺跡があったわけです。
米ヶ崎半島の根本、竹駒食道の裏、この辺りの地区名が「館」であり、城としての役目もあったことから高台になってますね。

矢作⇔竹駒を結ぶ橋も「まったで橋(廻館橋)」。矢作側に"廻館"という小さな館があり、橋のみにその由来が残ったようです。

さて、旧市役所庁舎があったのが「館の沖」。
"沖"っていうと、「元は海だったんじゃないのか！」と反応されがちですが
おき【沖／澳】
http://dictionary.goo.ne.jp/smp/leaf/jn2/30064/m0u/
１ 海または湖などで、岸から遠く離れた所。「―に出る」
２ 広々とした田畑や野原の遠い所。
これの2の意味で、"館(高田城)の沖(前の野原)"という意味ですね。(高田一中付近の"大石沖"も同様。大石に武日長者の屋敷跡があったため)